
\prob{0004}{线段比例I}

\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \image{0004}
  \caption{0004：线段比例I} \label{fig:0004}
\end{figure}

如图~\ref{fig:0004}，在$\triangle ABC$中，$AF:EF:EB:EC = 5:2:2:3$，求证：$DA = DC$。
\problabels{yellow/平面几何, green/证明题}

\subsection{面积法} \label{subsec:0004-S}

\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \image{0004-S}
  \caption{\nameref{subsec:0004-S}：连接$CF$，再根据面积比例求解。} \label{fig:0004-S}
\end{figure}

基本思路：寻找两个面积相等，底也相等的三角形，根据它们的高相等这一结论推出一个8形全等。

如图~\ref{fig:0004-S}，连接$CF$，作$AA' \perp BF, CC' \perp BF$，垂足分别为$A', C'$。

\begin{align*}
  \because  {}& AF:EF = 5:2 \\
  \therefore{}& S_{\triangle AFB}:S_{\triangle EFB} = 5:2 \\
  \because  {}& BE:CE = 2:3 \\
  \therefore{}& S_{\triangle EFB}:S_{\triangle EFC} = 2:3 \\
  \therefore{}& S_{\triangle AFB}:S_{\triangle CFB} = 1:1 \\
  \therefore{}& S_{\triangle AFB} = S_{\triangle CFB} \\
  \therefore{}& \frac12BF \cdot AA' = \frac12BF \cdot CC' \\
  \therefore{}& AA' = CC' \\
  \therefore{}& \triangle AA'D \cong \triangle CC'D \ \text{（证明省略）} \\
  \therefore{}& DA = DC \\
\end{align*}

证毕。

\subsection{倍长“中线”法} \label{subsec:0004-mid}

\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \image{0004-mid}
  \caption{\nameref{subsec:0004-mid}：延长$BD$，然后构造8形全等。} \label{fig:0004-mid}
\end{figure}

\emph{ZYQ提供的方法。}

基本思路：构造等腰三角形，然后找出一个8形全等，进而证明。

如图~\ref{fig:0004-mid}，延长$BD$到点$B'$，使得$AB' = CB = 5$。连接$AB', DB'$。

\begin{align*}
  \because  {}& AB' = CB, CB = AD \\
  \therefore{}& AB' = AD \\
  \therefore{}& \angle B' = \angle AFD \\
  \because  {}& \angle AFD = \angle BFE = \angle EBF \\
  \therefore{}& \angle B' = \angle EBF \\
  \text{又}\because{}& \text{在 $\triangle ADB'$ 与 $\triangle CDB$ 中} \\
  & \begin{cases}
    AB' = CB \\
    \angle B' = \angle EBF \\
    \angle ADB' = \angle CDB
  \end{cases} \\
  \therefore{}& \triangle ADB' \cong \triangle CDB \\
  \therefore{}& DA = DC
\end{align*}

证毕。
